Équation d'Einstein

Équation sur un mur à Leyde.

R_μν = 0 : l'équation d'Einstein pour le vide et en l'absence de constante cosmologique, sur le revers d'une pièce commémorative suisse (« Centenaire de la naissance d'Albert Einstein », 5 CHF, 1979).

L’équation d'Einstein ou équation de champ d'Einstein (en anglais, Einstein field equation ou EFE), publiée par Albert Einstein, pour la première fois le 25 novembre 1915, est l'équation aux dérivées partielles principale de la relativité générale. C'est une équation dynamique qui décrit comment la matière et l'énergie modifient la géométrie de l'espace-temps. Cette courbure de la géométrie autour d'une source de matière est alors interprétée comme le champ gravitationnel de cette source. Le mouvement des objets dans ce champ est décrit très précisément par l'équation de sa géodésique.

Présentation

L'équation d'Einstein est l'équation fondamentale de la relativité générale. Elle est une équation locale qui généralise l'équation de Poisson, forme locale de la loi de Newton. Elle consiste en une équation tensorielle qui relie deux tenseurs — le tenseur d'Einstein et le tenseur énergie-impulsion — dont elle exprime la proportionnalité. Elle représente un ensemble d'équations différentielles aux dérivées partielles hautement non-linéaires du second ordre.

John A. Wheeler (1911-2008) la présente ainsi :

« Spacetime tells matter how to move ; matter tells spacetime how to curve. »

— John A. Wheeler et Kenneth W. Ford, Geons, black holes, and quantum foam : a life in physics.

« L'espace-temps dit à la matière comment se mouvoir ; la matière dit à l'espace-temps comment se courber. »

— Tim Folger, Une brève histoire du voyage dans le temps.

ou :

« Spacetime grips mass, telling it how to move ; and mass grips spacetime, telling it how to curve. »

— Edwin F. Taylor et John A. Wheeler, Spacetime physics.

« L'espace-temps tient la masse, lui disant comment se mouvoir ; et la masse tient l'espace-temps, lui disant comment se courber. »

— Spacetime physics.

Histoire

Son éponyme est Albert Einstein (1879-1955) qui la présente, pour la première fois, le jeudi 25 novembre 1915 à l'Académie royale des sciences de Prusse à Berlin. L'Académie publie la communication d'Einstein le jeudi suivant, 2 décembre, dans ses Comptes rendus.

Einstein généralisera l'équation en y ajoutant un terme, appelé constante cosmologique, qui apparaît pour la première fois dans un article soumis le 8 février 1917 et publié le 15 du même mois.

Forme mathématique de l'équation de champ d'Einstein

En notation symbolique et avec conventions classiques de signes MTW, l'équation d'Einstein s'écrit :

$\mathbf {G} +\Lambda \mathbf {g} =\kappa \mathbf {T}$,

avec :

$\mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}R\mathbf {g}$.

$g$ est le tenseur métrique. $G$ est le tenseur d'Einstein. $T$ est le tenseur énergie-impulsion ; il représente l'énergie et le moment de tous les champs autres que le champ métrique lui-même.

$\Lambda$ et $\kappa$ sont deux constantes. $\Lambda$ est la constante cosmologique ; elle représente la densité d'énergie de l'espace-temps en l'absence de champs non-gravitationnels. $\kappa$ représente le couplage du champ gravitationnel avec les systèmes non-gravitationnels.

L'équation de champ d'Einstein est généralement écrite de la manière suivante :

$R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\kappa T_{\mu \nu }$

où :

• $R_{\mu \nu }$ est le tenseur de Ricci (dimension L^-2) ;
• $R$ est la courbure scalaire (dimension L^-2) ;
• $g_{\mu \nu }$ est le tenseur métrique de signature (-,+,+,+) (sans dimension) ;
• $\Lambda$ est la constante cosmologique (dimension L^-2) ;
• $T_{\mu \nu }$ est le tenseur énergie-impulsion (dimension énergie/volume) ;
• $\kappa$ est une constante de couplage dimensionnée, dite constante gravitationnelle de couplage d'Einstein ou, plus simplement, constante gravitationnelle d'Einstein voire constante d'Einstein : $\kappa ={\frac {8{\pi }G}{c^{4}}}$ (elle vaut ≈ 2,0766 10^-43 m J^-1 (ou N^-1), dans le Système international d'unités SI),

avec :

• $\pi$, le nombre pi ;
• $G$, la constante gravitationnelle (environ 6,674 2 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²) ;
• $c$, la constante de célérité, égale à la vitesse de la lumière dans le vide (exactement 299 792 458 m s⁻¹).

Forme alternative

L'équation d'Einstein peut se réécrire comme suit :

$R_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{n-2}}Tg_{\mu \nu }\right)+{\frac {2}{n-2}}\Lambda g_{\mu \nu }$,

où :

• $n\geq 3$ est le nombre de dimensions de l'espace-temps ;
• $T$ est la trace du tenseur énergie-impulsion.

Ainsi, pour $n=4$, l'équation d'Einstein peut ainsi s'écrire :

$R_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)+\Lambda g_{\mu \nu }$.

Cette équation équivalente peut être plus pratique dans certains cas, par exemple lorsqu'on s'intéresse à la limite de champ gravitationnel faible et qu'on peut remplacer g par la Métrique de Minkowski sans perte significative de précision.

Vide

Dans le vide $(T_{\mu \nu }=0)$, l'équation d'Einstein s'écrit :

$R_{\mu \nu }={\frac {2}{n-2}}\Lambda g_{\mu \nu }$,

avec $n\geq 3$.

Dans le vide et l'absence de constante cosmologique $(\Lambda =0)$, elle s'écrit :

$G_{\mu \nu }=0$ ou $R_{\mu \nu }=0$.

Analyse dimensionnelle

La dimension des composantes des tenseurs n'est pas prédéfinie. Considérons que les coordonnées $x^{\mu }$ sont homogènes à une longueur : $[x^{\mu }]={\mathsf {L}}$. Alors les composantes $g_{\mu \nu }$ du tenseur métrique sont sans dimension : $[g_{\mu \nu }]=1$ ; et les composantes de la connexion de Levi-Civita sont homogènes à l'inverse d'une longueur : ${\mathsf {L}}^{-1}$. Il en résulte que les composantes $R_{\mu \nu }$ du tenseur de Ricci et que la courbure scalaire $R$ sont homogènes à l'inverse du carré d'une longueur : $[R_{\mu \nu }]=[R]={\mathsf {L}}^{-2}$ ; que les composantes $G_{\mu \nu }$ du tenseur d'Einstein ont la même dimension : $[G_{\mu \nu }]={\mathsf {L}}^{-2}$ ; que celles $T_{\mu \nu }$ du tenseur énergie-impulsion sont homogènes une énergie volumique : $[T_{\mu \nu }]={\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}$ ; et que la constante $\kappa$ est homogène à l'inverse d'une force : $[\kappa ]={\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}^{-1}{\mathsf {T}}^{2}$.

Détermination de la constante κ

La constante $\kappa$ peut être déterminée en demandant que l'équation d'Einstein se réduise, à la limite newtonienne, à l'équation de Poisson.

En considérant que la constante $\kappa$ est homogène à l'inverse d'une force, on obtient :

$\kappa =8\pi {\frac {G}{c^{4}}}$, où $G$ est la constante gravitationnelle et $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide.

Nombre d'équations indépendantes

L'équation d'Einstein est une équation dans l'espace des tenseurs (covariants) symétriques de degré 2 sur une variété de dimension 4. Elle peut donc s'exprimer à l'aide de (4*5)/2 = 10 équations scalaires une fois qu'un système de coordonnées locales a été choisi. Par ailleurs, la première identité de Bianchi, qui est une équation dans l'espace des formes à valeurs vectorielles, peut s'exprimer à l'aide de 4 équations scalaires dans ce même système. L'équation d'Einstein comporte donc 10 - 4 = 6 équations indépendantes^{[réf. souhaitée]}.

L'équation de champ d'Einstein est comprise comme une équation permettant de connaître le tenseur métrique $g_{ab}$, étant donné une distribution de matière et d'énergie exprimée sous la forme d'un tenseur énergie-impulsion. Malgré son aspect simple, elle est en réalité relativement complexe, notamment du fait que le tenseur de Ricci et la courbure scalaire dépendent de la métrique.

$\Lambda$, la constante cosmologique, a été introduite par Einstein pour permettre des solutions statiques au modèle cosmologique issu de l'équation d'Einstein. Par la suite, il a qualifié cette introduction de « plus grande erreur de sa vie ».

En définissant le tenseur d'Einstein

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }$

qui est un tenseur symétrique de rang 2 dépendant de la métrique et si l'on considère que $\Lambda$ = 0 (ce qu'Einstein a fini par admettre, mais qui est controversé aujourd'hui), il est possible d'écrire cette relation de manière plus compacte

$G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.$

En travaillant dans le système d'unités géométriques, où G = c = 1, on a :

$G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,$

La partie de gauche représente la courbure de l'espace-temps telle qu'elle est déterminée par la métrique et l'expression de droite représente le contenu masse/énergie de l'espace-temps. Cette équation peut alors être interprétée comme un ensemble d'équations décrivant comment la courbure de l'espace-temps est reliée au contenu masse/énergie de l'univers.

Ces équations, ainsi que l'équation de la géodésique, forment le cœur de la formulation mathématique de la relativité générale.

Propriétés de l'équation d'Einstein

Unicité de l'équation

Le théorème de Lovelock, dû à David Lovelock, établit que l'équation d'Einstein est l'unique équation du champ qui :

• est construite à partir du tenseur métrique ;
• n'est pas supérieure au deuxième ordre dans les dérivées ;
• est locale ;
• est dérivée d'une action.

L'équation d'Einstein est aussi l'unique équation non-linéaire du mouvement pour particule sans masse de spin 2.

Conservation de l'énergie et du moment

Une importante conséquence de l'équation d'Einstein est la conservation locale de l'énergie et du moment. Ce résultat apparaît en utilisant l'identité différentielle de Bianchi pour obtenir :

$\nabla _{\nu }G^{\mu \nu }=G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0$

ce qui, en utilisant l'équation d'Einstein, donne :

$\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0$

qui exprime la conservation locale du tenseur énergie-impulsion.

Non-linéarité des équations de champ

L'équation d'Einstein donne lieu à 10 équations aux dérivées partielles non linéaires pour les composants métriques. Cette caractéristique de non-linéarité distingue la relativité générale de l'ensemble des autres théories physiques. Par exemple, les équations de Maxwell de l'électromagnétisme sont linéaires par rapport aux champs électriques et magnétiques (c'est-à-dire que la somme de deux solutions est aussi une solution). Un autre exemple est celui de l'équation de Schrödinger en mécanique quantique où l'équation est linéaire par rapport à la fonction d'onde.

Principe de correspondance

L'approximation des champs faibles et des mouvements lents permet de retrouver l'équation de Poisson de la gravitation de Newton :

$\nabla {^{2}}\Phi =4\pi {G}{\rho }$,

où :

• $\Phi$ est le potentiel gravitationnel ;
• $\pi$ est le nombre pi ;
• $G$ est la constante gravitationnelle ;
• $\rho$ est la masse volumique.

La constante cosmologique

Il est possible de modifier l'équation des champs d'Einstein en introduisant un terme proportionnel à la métrique :

$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi }T_{\mu \nu }$

(on précisera que cette équation est vraie dans un système d'unités géométriques tel que G = c = 1, sinon on doit lire : (8πG/c⁴)T_μν. La constante $\Lambda$ est appelée la constante cosmologique.

Cette constante cosmologique était à l'origine introduite par Einstein pour obtenir de son équation un univers statique (c'est-à-dire un univers qui ne soit pas en expansion ou en contraction). Cet effort fut un échec pour deux raisons : l'univers statique décrit par cette théorie était instable, et les observations des galaxies distantes par Hubble une décennie plus tard confirmèrent que notre univers n'est en fait pas statique mais en expansion. $\Lambda$ fut donc par la suite abandonné, et Einstein la qualifia de « la plus grande erreur de sa vie ».

Bien que la motivation d'Einstein pour l'introduction de cette constante ait été erronée, sa présence dans l’équation n'est pas inconsistante. En effet, récemment les techniques astronomiques améliorées ont permis d'affirmer qu'une valeur non nulle de $\Lambda$ est nécessaire pour expliquer certaines observations. L'existence d'une constante cosmologique est alors équivalente à l'existence d'une énergie du vide non nulle.

Solutions de l'équation dans le vide

Les solutions de l'équation d'Einstein sont les tenseurs métriques de l'espace-temps. Elles sont souvent appelées « métriques ». Elles décrivent la structure de l'espace-temps en incluant le mouvement inertiel des objets. En raison du caractère hautement non linéaire des équations, il n'existe pas de solution analytique générale pour une distribution quelconque de matière. Il n'existe que des solutions particulières pour des espaces-temps dotés de symétries ou des champs gravitationnels faibles. Il n'existe pas de solution complète connue pour un espace-temps constitué de deux corps massifs (correspondant au modèle théorique d'un système binaire de deux étoiles par exemple). Cependant, des approximations sont généralement faites dans ces cas.

L'étude des solutions exactes des équations de champs d'Einstein est l'une des activités de la cosmologie. Elle a mené à la prédiction de l'existence de trous noirs et aux divers modèles de l'évolution de l'univers.

En relativité générale, le vide est une région de l'espace-temps dans laquelle le tenseur énergie-impulsion $T_{\mu \nu }$ est nul : $T_{\mu \nu }=0$. Dans le vide et en l'absence de constante cosmologique, l'équation d'Einstein s'écrit $R_{\mu \nu }=0$.

Espace plat

Loin de toute source gravitationnelle, l'espace plat est une solution de cette équation, et la métrique de Minkowski s'applique. Cette dernière est la forme classique qu'on trouve dans le cadre de la relativité restreinte et les distances se mesurent à l'aide de la métrique : $ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\ .$

On voit alors qu'on a :

$(g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\$

Espace autour d'une masse sphérique

La métrique de Schwarzschild permet de décrire la déformation de l'espace-temps dans le vide autour d'une masse sphérique unique (par exemple une étoile). On a alors, pour $(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,r,\theta ,\phi )$ :

$(g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}&0&0&0\\0&-{\frac {1}{1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\$

Espace autour d'un corps en rotation

La métrique de Kerr, pour sa part, décrit la déformation de l'espace-temps dans le vide autour d'un trou noir en rotation (en l'absence de champs électromagnétiques). Elle est l'œuvre en 1963 de Roy Kerr, mathématicien néo-zélandais. Contrairement à la métrique de Schwarzschild qui peut s'appliquer autour de tout corps sphérique et statique, la métrique de Kerr est spécifique aux trous noirs seulement et ne peut s'appliquer à d'autres corps en rotation. En prenant à nouveau un référentiel sphérique de l'espace-temps $(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(t,r,\theta ,\phi )$ (en prenant c=1) on a :

$(g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)&0&0&{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\ \\0&-{\frac {\Sigma }{\Delta }}&0&0\\0&0&-\Sigma &0\\{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}&0&0&-\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\$

avec :

$\Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \$,

$\Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}\$,

Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

La métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker permet de décrire un espace-temps de géométrie homogène et isotrope.

Voir aussi

Publication originale

• [Einstein 1915] (de) Albert Einstein, « Die Feldgleichungen der Gravitation », Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin,‎ 25 nov. 1915, p. 844-847 (Bibcode 1915SPAW.......844E, lire en ligne), réimpr. :
  • [Einstein 2005] (de) Albert Einstein, « Die Feldgleichungen der Gravitation », dans Dieter Simon, Albert Einstein : Akademie-Vorträge : Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, 1914-1932, Weinheim, Wiley, 16 déc. 2005, 1^re éd., 1 vol., XIV-431, 25 cm (EAN 9783527406098, OCLC 234199727, DOI 10.1002/3527608958), p. 82-92.

Bibliographie

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• [Bičák 2000] (en) Jiří Bičák, chap. 1^er « Selected solutions of Einstein's field equations : their role in general relativity and astrophysics », dans Bernd G. Schmidt (éd.), Einstein's field equations and their physical implications : selected essays in honour of Jürgen Ehlers, Berlin, Heidelberg et New York, Springer, coll. « Lecture notes in physics » (n^o 540), mars 2000, 1^re éd., 1 vol., XIII-433, 24 cm (ISBN 3-540-67073-4, 978-3-540-67073-5, 3-642-08637-3, 978-3-642-08637-3 et 978-3-540-46580-5, OCLC 490408208, DOI 10.1007/3-540-46580-4, Bibcode 2000LNP...540.....S, SUDOC 052238679, présentation en ligne, lire en ligne), p. 1-126 (Bibcode : 2000LNP...540....1B, arXiv:gr-qc/0004016, résumé,lire en ligne).
• [Boudenot 2001] Jean-Claude Boudenot, Histoire de la physique et des physiciens : de Thalès au boson de Higgs, Paris, Ellipses, mai 2001 (réimpr. nov. 2013), 1^re éd., 1 vol., 367, ill., portr. et fac-sim., 17 × 24 cm (ISBN 2-7298-7993-5, EAN 9782729879938, OCLC 300189735, BNF 37651071, SUDOC 058469893, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Callender 2017] (en) Craig Callender, What makes time special ?, Oxford, OUP, hors coll., juillet 2017 (réimpr. janvier 2023), 1^re éd., XII-343 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-0-19-879730-2 et 978-0-19-288746-7, EAN 9780198797302, OCLC 1013183622, BNF 45334201, DOI 10.1093/oso/9780198797302.001.0001, S2CID 16340981, SUDOC 22103384X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Damour 2005] Thibault Damour, « Relativité générale », dans Alain Aspect et al. (av.-prop. de Michèle Leduc et Michel Le Bellac), Einstein aujourd'hui, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », janv. 2005, 1^re éd., 1 vol., VIII-417, ill. et portr., 15,5 × 23,5 cm (ISBN 2-86883-768-9 et 2-271-06311-6, EAN 9782868837684, OCLC 61336564, BNF 39916190, SUDOC 083929657, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 6, p. 267-319.
• [Ellis, Maartens et MacCallum 2012] (en) George F. R. Ellis, Roy Maartens et Malcolm A. H. MacCallum, Relativistic cosmology, Cambridge, CUP, hors coll., mars 2012 (réimpr. juin 2021), 1^re éd., XIV-622 p., 15 × 25,3 cm (ISBN 978-0-521-38115-4 et 978-1-108-81276-4, EAN 9780521381154, OCLC 800513810, BNF 43570408, DOI 10.1017/CBO9781139014403, Bibcode 2012reco.book.....E, SUDOC 160539528, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Farmelo 2003] (en) Graham Farmelo (éd.), It must be beautiful : great equations of modern science, Londres, Granta, hors coll., février 2003, 1^re éd., XVI-284 p., 13 × 20 cm (ISBN 978-1-86207-555-9, EAN 9781862075559, OCLC 716864503, BNF 44335571, SUDOC 169109925, présentation en ligne, lire en ligne) :
  • [Penrose 2003] (en) Roger Penrose, « The rediscovery of gravity : the Einstein equation of general relativity », dans op. cit., chap. 8, p. 47-79 ;
  • [Farmelo 2003] (en) « Notes and further reading », dans op. cit., p. 258-272.
• [Ferrari, Gualtieri et Pani 2020] (en) Valeria Ferrari, Leonardo Gualtieri et Paolo Pani, General relativity and its applications : black holes, compact stars and gravitational waves, Boca Raton, CRC, hors coll., décembre 2020, 1^re éd., XVIII-475 p., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-1-138-58977-3 et 978-0-367-62532-0, EAN 9781138589773, OCLC 1176323361, DOI 10.1201/9780429491405, S2CID 224954065, SUDOC 255050844, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Folger 2015] Tim Folger, « Une brève histoire du voyage dans le temps », Pour la science, n^o 457,‎ novembre 2015 (lire en ligne).
• [Gomes 2020] (en) Henrique Gomes, « Back to Parmenides », dans Nick Huggett, Keizo Matsubara et Christian Wüthrich (éd.), Beyond spacetime : the foundations of quantum gravity [« Au-delà de l'espace-temps : les fondements de la gravitation quantique »], Cambridge, CUP, hors coll., mai 2020, 1^re éd., VIII-362 p., 17,8 × 25,3 cm (ISBN 978-1-108-47702-4, EAN 9781108477024, OCLC 1197971408, DOI 10.1017/9781108655705, SUDOC 244334412, présentation en ligne, lire en ligne), II^e partie, chap. 9 [« Back to Parménide »], p. 176-206.
• [Gourgoulhon 2012] (en) Éric Gourgoulhon, 3+1 formalism in general relativity : bases of numerical relativity, Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « Lecture notes in physics » (n^o 846), février 2012, 1^re éd., XVII-294 p., 15,5 × 23,4 cm (ISBN 978-3-642-24524-4, EAN 9783642245244, OCLC 801098954, DOI 10.1007/978-3-642-24525-1, Bibcode 2012LNP...846.....G, S2CID 117018664, SUDOC 16041802X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Grøn et Hervik 2007] (en) Øyvind Grøn et Sigbjørn Hervik, Einstein's general theory of relativity : with modern applications in cosmology [« La théorie générale de la relativité d'Einstein : avec des applications modernes en cosmologie »], New York, Springer, hors coll., mai 2007, 1^re éd., XX-538 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-0-387-69199-2 et 978-1-4419-2406-3, EAN 9780387691992, OCLC 77540741, BNF 44643158, DOI 10.1007/978-0-387-69200-5, SUDOC 124591477, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009] Michael Paul Hobson, George Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'angl. amér. par Loïc Villain, révision scientifique par Richard Taillet), Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles, De Boeck Univ., coll. « Physique », déc. 2009, 1^re éd., 1 vol., XX-554, ill., 28 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8, EAN 9782804101268, OCLC 690272413, BNF 42142174, SUDOC 140535705, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Kopeikin, Efroimsky et Kaplan 2011] (en) Sergei Kopeikin, Michael Efroimsky et George Kaplan, Relativistic celestial mechanics of the solar system [« Mécanique céleste relativiste du système solaire »], Weinheim, Wiley-VCH, hors coll., août 2011, 1^re éd., XXXI-860 p., 18,5 × 24,9 cm (ISBN 978-3-527-40856-6, EAN 9783527408566, OCLC 800837798, BNF 44681978, DOI 10.1002/9783527634569, Bibcode 2011rcms.book.....K, SUDOC 156553651, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Lambourne 2010] (en) Robert J. A. Lambourne, Relativity, gravitation and cosmology [« Relativité, gravitation et cosmologie »], Cambridge et Milton Keynes, CUP et OU, hors coll., juillet 2010, 1^re éd., 310 p., 20,9 × 26,3 cm (ISBN 978-0-521-76119-2 et 978-0-521-13138-4, EAN 9780521761192, OCLC 690873048, Bibcode 2010rgc..book.....L, SUDOC 145497909, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Markoutsakis 2021] (en) Manousos Markoutsakis, Geometry, symmetries, and classical physics : a mosaic [« Géométrie, symétries et physique classique : une mosaïque »], Boca Raton, CRC, hors coll., décembre 2021, 1^re éd., XIII-482 p., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-0-367-53523-0 et 978-0-367-54141-5, EAN 9780367535230, OCLC 1360259053, DOI 10.1201/9781003087748, SUDOC 26703752X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Lachièze-Rey 2003] Marc Lachièze-Rey, Au-delà de l'espace et du temps : la nouvelle physique, Paris, le Pommier, coll. « Essais », mars 2003, 1^re éd., 1 vol., 358, ill., 13,5 × 20 cm (ISBN 2-746-50106-6, EAN 9782746501065, OCLC 402067004, BNF 38975071, SUDOC 071008756, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Luscombe 2018] (en) James H. Luscombe, Core principles of special and general relativity [« Principes fondamentaux de la relativité restreinte et de la relativité générale »], Boca Raton, CRC, hors coll., décembre 2018 (réimpr. mars 2021), 1^re éd., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-1-138-54294-5 et 978-0-367-78067-8, EAN 9781138542945, OCLC 1294702192, DOI 10.1201/9780429023835, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Ohanian et Ruffini 2013] (en) Hans C. Ohanian et Remo Ruffini, Gravitation and spacetime [« Gravitation et espace-temps »], Cambridge, CUP, hors coll., mai 2013, 3^e éd. (1^re éd. 1976), XVI-528 p., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-1-107-01294-3, EAN 9781107012943, OCLC 867754443, DOI 10.1017/CBO9781139003391, Bibcode 2013grsp.book.....O, S2CID 118745486, SUDOC 170135675, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Pires 2014] (en) Antonio S. T. Pires, AdS/CFT correspondence in condensed matter, San Rafael, Morgan & Claypool, coll. « IOP concise physics », juin 2014, 1^re éd., 95 p., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-1-627-05308-2, EAN 9781627053082, OCLC 880565115, DOI 10.1088/978-1-627-05309-9, Bibcode 2014accm.book.....T, arXiv 1006.5838, S2CID 119247549, SUDOC 236885898, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Romero 2018] (en) Gustavo E. Romero, Scientific philosophy, Cham, Springer, hors coll., novembre 2018, 1^re éd., XIX-188 p., 15,5 × 23,4 cm (ISBN 978-3-319-97630-3, EAN 9783319976303, OCLC 1042354025, DOI 10.1007/978-3-319-97631-0, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Schutz 2022] (en) Bernard F. Schutz, A first course in general relativity, Cambridge, CUP, coll. « Higher education », juin 2022, 3^e éd. (1^re éd. février 1985), XV-497 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-1-108-49267-6, EAN 9781108492676, OCLC 1369143667, BNF 47084810, DOI 10.1017/9781108610865, S2CID 118825869, SUDOC 263369447, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Solomon 2016] (en) Adam Ross Solomon, Cosmology beyond Einstein, Cham, Springer, coll. « Springer theses », novembre 2016 (réimpr. juin 2018), 1^re éd., XXI-231 p., 15,5 × 23,5 cm (ISBN 978-3-319-46620-0 et 978-3-319-83549-5, EAN 9783319466200, OCLC 987438691, DOI 10.1007/978-3-319-46621-7, Bibcode 2017cbe..book.....S, arXiv 1508.06859, S2CID 119274293, SUDOC 200753347, présentation en ligne, lire en ligne)
• [Wheeler et Ford 1998] (en) John A. Wheeler et Kenneth W. Ford, Geons, black holes, and quantum foam : a life in physics [« Géons, trous noirs et mousse quantique : une vie dédiée à la physique »], New York et Londres, W. W. Norton, hors coll., août 1998 (réimpr. mai 2000), 1^re éd., 380-[8] p., 14 × 20,8 cm (ISBN 0-393-04642-7, EAN 9780393046427, OCLC 37806238, SUDOC 04909453X, présentation en ligne, lire en ligne).

Manuels de cours d'enseignement supérieur

• [Andrillat 1970] Henri Andrillat (préf. de Jean-Claude Pecker), Introduction à l'étude des cosmologies, Paris, A. Colin, coll. « Intersciences », 1970, 1^re éd., 1 vol., 223, ill., 21 cm (OCLC 300091140, BNF 35372807, SUDOC 002174170, lire en ligne). 
• [Barrau et Grain 2016] Aurélien Barrau et Julien Grain, Relativité générale : cours et exercices corrigés, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup. / physique », août 2016, 2^e éd. (1^re éd. août 2011), 1 vol., VIII-231, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, BNF 45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Fabre, Antoine et Treps 2015] Claude Fabre, Charles Antoine et Nicolas Treps (préf. de Serge Haroche), Introduction à la physique moderne : relativité et physique quantique, Paris, Dunod, coll. « Sciences sup. / physique », mars 2015, 1^re éd., 1 vol., XVI-287, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-072021-7, EAN 9782100720217, OCLC 906024716, BNF 44272932, SUDOC 184688450, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Gialis et Désert 2015] Denis Gialis et François-Xavier Désert, Relativité générale et astrophysique : problèmes et exercices corrigés, Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Grenoble sciences », nov. 2015, 1^re éd., 1 vol., X-353, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-1749-8, EAN 9782759817498, OCLC 920911577, BNF 44394347, SUDOC 188192891, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon (préf. de Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », mai 2010, 1^re éd., 1 vol., XXVI-776, ill. et fig., 15,5 × 23 cm (ISBN 978-2-7598-0067-4 et 978-2-271-07018-0, EAN 9782759800674, OCLC 690639994, BNF 41411713, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Heyvaerts 2012] Jean Heyvaerts, Astrophysique : étoiles, univers et relativité, Paris, Dunod, coll. « Sciences sup. / physique », août 2012, 2^e éd. (1^re éd. sept. 2006), 1 vol., X-384, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-058269-3, EAN 9782100582693, OCLC 816556703, BNF 42740481, SUDOC 163817030, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Pérez 2016] José-Philippe Pérez (avec la collab. d'Éric Anterrieu), Relativité : fondements et applications, Paris, Dunod, hors coll., mai 2016, 3^e éd. (1^re éd. juin 1999), 1 vol., XXIII-439, ill. et fig., 17,7 × 24 cm (ISBN 978-2-10-077295-7, EAN 9782100772957, OCLC 1031317463, BNF 45033071, SUDOC 193153297, présentation en ligne, lire en ligne). 

Ouvrages de vulgarisation

• [Collion 2019] Stéphane Collion, Voyage dans les mathématiques de l'espace-temps : trous noirs, big-bang, singularités, Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à... » (n^o 10), janv. 2019, 1^re éd., 1 vol., VIII-200, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2279-9, EAN 9782759822799, OCLC 1085244403, BNF 45568170, SUDOC 233873899, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Einstein] Albert Einstein, La Relativité, Petite Biblio Payot Classiques.
• [Michaud 2001] Yves Michaud (dir.), Qu'est-ce que l'Univers ?, Paris, O. Jacob, coll. « Université de tous les savoirs » (n^o 4), janv. 2001, 1^re éd., 1 vol., 987-[16], ill., 24 cm (ISBN 2-7381-0917-9, EAN 9782738109170, OCLC 46401532, BNF 37757639, SUDOC 055607373, présentation en ligne, lire en ligne). 

Dictionnaires et encyclopédies

• [Taillet, Villain et Febvre 2013] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Sup., hors coll., fév. 2013, 3^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-899, ill. et fig., 24 cm (ISBN 978-2-8041-7554-2, EAN 9782804175542, OCLC 842156166, BNF 43541671, SUDOC 167932349, lire en ligne), s.v.Einstein (équations d'), p. 229, col. 2.

Articles connexes

• Relativité générale
• Action d'Einstein-Hilbert
• Mathématiques de la relativité générale
• Constante d'Einstein

Liens externes

• Notices d'autorité :

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• Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :

  • Britannica
• (en) Einstein's field equations (équations de champ d'Einstein) sur l'Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics de l'Observatoire de Paris.
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