Algèbre commutative

En algèbre générale, l’algèbre commutative est la branche des mathématiques qui étudie les anneaux commutatifs, leurs idéaux, les modules et les algèbres. Elle est fondamentale pour la géométrie algébrique et pour la théorie algébrique des nombres.

David Hilbert est considéré comme le véritable fondateur de cette discipline appelée initialement la « théorie des idéaux ». Beaucoup supposent qu’il aurait pensé cette théorie comme une approche visant à remplacer la théorie des fonctions complexes. L’aspect calculatoire était présenté comme secondaire en laissant une plus grande place aux structures. L’étude des modules, rattachée plus tard à cette théorie sous l’influence d’Emmy Noether, présente sous une certaine forme le travail de Kronecker, et est une amélioration technique dispensant de toujours travailler directement sur le cas particulier des idéaux.

Par rapport à la notion de schéma, l’algèbre commutative peut être considérée comme étant la théorie locale ou la théorie affine de la géométrie algébrique.

L’étude générale des anneaux qui ne sont pas supposés commutatifs est connue sous le nom d’algèbre non commutative ; elle se prolonge par la théorie des représentations et par d’autres domaines comme celui de la théorie des algèbres de Banach.

Liens externes

Algèbre commutative par Antoine Chambert-Loir, cours à l'université de Rennes 1 (2006–2007)
Anneaux et corps, par Christian Squarcini

Portail de l’algèbre

v · m Théorie des anneaux
Structures	Anneau unitaire Pseudo-anneau Demi-anneau Anneau commutatif Anneau de polynômes Ordre Algèbre de Weyl Idéal Corps des fractions Module sur un anneau Algèbre sur un anneau Catégorie des anneaux Spectre
Propriétés arithmétiques	Anneau adélique Anneau local Anneau de Dedekind (non commutatif) Anneau sans diviseur de zéro Anneau principal (non commutatif) Anneau euclidien (non commutatif) Anneau factoriel Anneau à PGCD Anneau de Bézout Anneau de Schreier Anneau de Goldman Anneau intègre Anneau de valuation discrète Anneau d'Ore Anneau réduit Idéal premier Idéal maximal Idéal primaire Idéal primitif (en)
Chaînes d'idéaux	Anneau noethérien Anneau artinien Anneau de Jaffard Anneau cohérent Anneau de Goldie Anneau de Jacobson Anneau de Gorenstein Anneau caténaire
Mesures	Dimension de Krull Dimension homologique Longueur d'un module Profondeur d'un module
Modules	Catégorie des modules Module de type fini Module simple Module semi-simple Module monogène Module libre Module quotient Facteur direct Dual d'un module Annulateur Produit tensoriel Puissance extérieure Bimodule Module artinien Anneau de Cohen-Macaulay Anneau des entiers
Fonctorialité	Anneau d'Hermite Module projectif Module injectif Module plat Module fidèle Anneau régulier
Opérations	Morphisme d'anneaux Localisation Somme directe Produit tensoriel Représentation Quotient Extension d'anneau (en) Radical d'un idéal Nilradical Radical de Jacobson Going up et going down