Antécédent (mathématiques)

Dans ce diagramme d'application, 1 et 4 sont des antécédents de b.

En mathématiques, étant donné deux ensembles E, F et une application $f:E\to F$, on appelle antécédent (par f) d'un élément y de F tout élément dont l'image par f est y, c'est-à-dire tout élément x de E tel que f(x) = y.

Un antécédent de y est donc, par définition, un élément de l'image réciproque $f^{-1}(\{y\})$.

Exemples

Soient la fonction carré $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{2}$ et y un nombre réel.

• Si y > 0 alors y admet deux antécédents, qui sont ${\sqrt {y}}$ et $-{\sqrt {y}}$.
• Si y = 0 alors y admet un seul antécédent, qui est 0.
• Si y < 0 alors y n'admet aucun antécédent.

Image d'un ensemble par une application

Soient une application $f:E\to F$ et A une partie de E. On appelle « image de A par f » l'ensemble des éléments de F qui admettent au moins un antécédent appartenant à A ; on la note f(A). L'ensemble f(E) est appelé image de f.

Injections, surjections, bijections

Soit une application $f:E\to F$. On dit que f est :

• injective, si tout élément de F admet au plus un antécédent ;
• surjective, si tout élément de F admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si $f(E)=F$ ;
• bijective, si tout élément de F admet un antécédent et un seul. Dans ce cas, la bijection réciproque de f est l'application $f^{-1}:F\to E,\,y\mapsto x$, où x est l'unique antécédent de y par f.

Développement informatique

Les développeurs utilisent le mot « argument » pour désigner le ou les antécédents d'une fonction.