En mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle , le calcul opérationnel repose essentiellement sur un astucieux changement de variable basé sur la transformée de Laplace permettant l'algébrisation des symboles de dérivation et d'intégration des expressions mathématiques décrivant les phénomènes linéaires. Certains ingénieurs emploient de préférence la transformation de « Laplace-Carson », une constante ayant comme image la même constante.
L'expression :
ϕ
(
p
)
=
p
∫
0
+
∞
e
−
p
t
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \phi (p)=p\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-pt}f(t)\,\mathrm {d} t}
t
↦
f
(
t
)
{\displaystyle t\mapsto f(t)}
p
↦
ϕ
(
p
)
{\displaystyle p\mapsto \phi (p)}
La transformation directe est notée :
ϕ
(
p
)
{\displaystyle \phi (p)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
La transformation inverse est notée :
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
ϕ
(
p
)
{\displaystyle \phi (p)}
La correspondance entre fonctions originales et fonctions images s'établit comme suit :
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
C
f
(
t
)
{\displaystyle Cf(t)}
C
ϕ
(
p
)
{\displaystyle C\phi (p)}
f
1
(
t
)
+
f
2
(
t
)
{\displaystyle f_{1}(t)+f_{2}(t)}
ϕ
1
(
p
)
+
ϕ
2
(
p
)
{\displaystyle \phi _{1}(p)+\phi _{2}(p)}
C
1
f
1
(
t
)
+
C
2
f
2
(
t
)
{\displaystyle C_{1}f_{1}(t)+C_{2}f_{2}(t)}
C
1
ϕ
1
(
p
)
+
C
2
ϕ
2
(
p
)
{\displaystyle C_{1}\phi _{1}(p)+C_{2}\phi _{2}(p)}
p
∫
0
+
∞
e
−
p
t
t
d
t
=
−
∫
0
+
∞
t
d
(
e
−
p
t
)
=
−
[
t
e
−
p
t
]
0
+
∞
+
∫
0
+
∞
e
−
p
t
d
t
.
{\displaystyle p\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-pt}t\,\mathrm {d} t=-\int _{0}^{+\infty }t\,\mathrm {d} (\mathrm {e} ^{-pt})=-\left[t\mathrm {e} ^{-pt}\right]_{0}^{+\infty }+\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-pt}\,\mathrm {d} t.}
Pour
p
>
0
{\displaystyle p>0}
1
p
{\displaystyle {\frac {1}{p}}}
Ainsi,
t
{\displaystyle t}
1
p
{\displaystyle {\frac {1}{p}}}
C
t
{\displaystyle Ct}
C
p
{\displaystyle {\frac {C}{p}}}
C
t
+
C
1
{\displaystyle Ct+C_{1}}
C
p
+
C
1
{\displaystyle {\frac {C}{p}}+C_{1}}
D'une manière générale, par récurrence pour tout entier positif n , on obtient :
t
n
{\displaystyle t^{n}}
n
!
p
n
{\displaystyle {\frac {n!}{p^{n}}}}
p
∫
0
+
∞
e
−
p
t
e
a
t
d
t
=
p
a
−
p
[
e
(
a
−
p
)
t
]
0
+
∞
.
{\displaystyle p\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-pt}\mathrm {e} ^{at}\,\mathrm {d} t={\frac {p}{a-p}}\left[\mathrm {e} ^{(a-p)t}\right]_{0}^{+\infty }.}
Si
a
=
α
+
i
β
{\displaystyle a=\alpha +\mathrm {i} \beta }
[
e
(
α
−
p
)
t
(
cos
β
t
+
i
sin
β
t
)
]
0
+
∞
{\displaystyle \left[\mathrm {e} ^{(\alpha -p)t}(\cos \beta t+\mathrm {i} \sin \beta t)\right]_{0}^{+\infty }}
−
1
{\displaystyle -1}
p
>
α
{\displaystyle p>\alpha }
e
a
t
{\displaystyle \mathrm {e} ^{at}}
p
p
−
a
{\displaystyle {\frac {p}{p-a}}}
Pour
a
{\displaystyle a}
Fonction origine
Fonction image
Fonction origine
Fonction image
Condition(s)
e
a
t
{\displaystyle \mathrm {e} ^{at}}
p
p
−
a
{\displaystyle {\frac {p}{p-a}}}
(
e
a
t
−
1
)
{\displaystyle (\mathrm {e} ^{at}-1)}
a
p
−
a
{\displaystyle {\frac {a}{p-a}}}
p
>
a
,
a
>
0
{\displaystyle p>a,\,a>0}
e
−
a
t
{\displaystyle \mathrm {e} ^{-at}}
p
p
+
a
{\displaystyle {\frac {p}{p+a}}}
−
(
e
−
a
t
−
1
)
{\displaystyle -(\mathrm {e} ^{-at}-1)}
a
p
+
a
{\displaystyle {\frac {a}{p+a}}}
p
>
−
a
,
a
<
0
{\displaystyle p>-a,\,a<0}
e
a
t
−
1
a
{\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{at}-1}{a}}}
1
p
−
a
{\displaystyle {\frac {1}{p-a}}}
−
e
−
a
t
−
1
a
{\displaystyle -{\frac {\mathrm {e} ^{-at}-1}{a}}}
1
p
+
a
{\displaystyle {\frac {1}{p+a}}}
-
cosh
(
a
t
)
{\displaystyle \cosh(at)}
p
2
p
2
−
a
2
{\displaystyle {\frac {p^{2}}{p^{2}-a^{2}}}}
sinh
(
a
t
)
{\displaystyle \sinh(at)}
p
a
p
2
+
a
2
{\displaystyle {\frac {pa}{p^{2}+a^{2}}}}
p
>
a
{\displaystyle p>a}
Pour
a
=
i
ω
{\displaystyle a=\mathrm {i} \omega }
Fonction origine
Fonction image
Fonction origine
Fonction image
Condition(s)
e
i
ω
t
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}}
p
p
−
i
ω
{\displaystyle {\frac {p}{p-\mathrm {i} \omega }}}
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}}
p
p
+
i
ω
{\displaystyle {\frac {p}{p+\mathrm {i} \omega }}}
-
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle \cos(\omega t)}
p
2
p
2
+
ω
2
{\displaystyle {\frac {p^{2}}{p^{2}+\omega ^{2}}}}
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle \sin(\omega t)}
p
ω
p
2
+
ω
2
{\displaystyle {\frac {p\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}}
-
1
−
cos
(
ω
t
)
ω
2
{\displaystyle {\frac {1-\cos({\omega t})}{\omega ^{2}}}}
1
p
2
+
ω
2
{\displaystyle {\frac {1}{p^{2}+\omega ^{2}}}}
-
-
-
Si
a
=
α
+
i
β
{\displaystyle a=\alpha +\mathrm {i} \beta }
e
(
α
+
i
β
)
t
{\displaystyle \mathrm {e} ^{(\alpha +\mathrm {i} \beta )t}}
p
(
p
−
α
+
i
β
)
(
p
−
α
)
2
+
β
2
{\displaystyle {\frac {p(p-\alpha +\mathrm {i} \beta )}{(p-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}}
Fonction origine
Fonction image
Fonction origine
Fonction image
Condition(s)
e
α
t
cos
β
t
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\alpha t}\cos \beta t}
p
(
p
−
α
)
(
p
−
α
)
2
+
β
2
{\displaystyle {\frac {p(p-\alpha )}{(p-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}}
e
α
t
sin
β
t
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\alpha t}\sin \beta t}
p
β
(
p
−
α
)
2
+
β
2
{\displaystyle {\frac {p\beta }{(p-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}}
-
Si
α
<
0
{\displaystyle \alpha <0}
e
(
α
+
i
β
)
t
{\displaystyle \mathrm {e} ^{(\alpha +\mathrm {i} \beta )t}}
t
=
+
∞
{\displaystyle t={+\infty }}
p
=
0
{\displaystyle p=0}
L'hypothèse fondamentale du calcul opérationnel est que toutes fonctions d'origine f (t ) ont une valeur nulle pour toute valeur de t négative. Bien que négligé la plupart du temps dans la pratique, il convient cependant d'écrire les fonctions d'origines comme facteur de la fonction
U
(
t
)
{\displaystyle U(t)}
p
p
−
a
{\displaystyle {\frac {p}{p-a}}}
U
(
t
)
e
a
t
{\displaystyle U(t)\mathrm {e} ^{at}}
Représentation de
U
(
t
)
e
a
t
{\displaystyle U(t)\mathrm {e} ^{at}}
La fonction U(t) échelon-unité est nulle pour toute valeur négative de t et égale à 1 pour toute valeur positive de t . Elle est représentée ci-dessous. Son symbole est la lettre grecque Upsilon majuscule et se lit « grand upsilon » de t . Elle se caractérise par son brusque passage de 0 à 1 entre 0- et 0+. Elle admet partout une dérivée nulle sauf en zéro où elle devient infinie.
Représentation de la fonction échelon-unité U(t). Considérons une fonction
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
h
(
t
)
=
0
{\displaystyle h(t)=0}
t
<
0
{\displaystyle t<0}
h
(
t
)
=
t
ϵ
{\displaystyle h(t)={\frac {t}{\epsilon }}}
0
<
t
<
ϵ
{\displaystyle 0<t<\epsilon }
h
(
t
)
=
1
{\displaystyle h(t)=1}
t
>
ϵ
{\displaystyle t>\epsilon }
Représentation de la fonction
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
La fonction
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
g
(
t
)
{\displaystyle g(t)}
g
(
t
)
=
0
{\displaystyle g(t)=0}
t
<
0
{\displaystyle t<0}
g
(
t
)
=
1
ϵ
{\displaystyle g(t)={\frac {1}{\epsilon }}}
0
<
t
<
ϵ
{\displaystyle 0<t<\epsilon }
g
(
t
)
=
0
{\displaystyle g(t)=0}
t
>
ϵ
{\displaystyle t>\epsilon }
Quel que soit
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
Représentation de la fonction
g
(
t
)
=
h
′
(
t
)
{\displaystyle g(t)=h'(t)}
Si l'on fait tendre
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
U
(
t
)
{\displaystyle U(t)}
g
(
t
)
{\displaystyle g(t)}
U
′
(
t
)
{\displaystyle U'(t)}
fonction de Dirac (ou percussion-unité), caractérisée par deux valeurs :
U
′
(
t
)
=
0
{\displaystyle U'(t)=0}
t sauf pour
t
=
0
{\displaystyle t=0}
U
′
(
t
)
{\displaystyle U'(t)}
∫
t
0
+
t
U
′
(
t
)
d
t
=
1
{\displaystyle \int _{t_{0}}^{+t}U'(t)\,\mathrm {d} t=1}
t 0 ≤ 0 et t > 0.Il vient alors :
∫
0
+
t
U
′
(
t
)
d
t
=
U
(
t
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{+t}U'(t)\,\mathrm {d} t=U(t).}
L'image de l'impulsion de Dirac est la limite quand
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
∫
0
+
∞
e
−
p
t
g
(
t
)
d
t
=
∫
0
ϵ
e
−
p
t
1
ϵ
d
t
=
1
ϵ
[
−
e
−
p
t
]
0
ϵ
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-pt}g(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\epsilon }\mathrm {e} ^{-pt}{\frac {1}{\epsilon }}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\epsilon }}\left[-\mathrm {e} ^{-pt}\right]_{0}^{\epsilon }}
Ce qui est égal à
1
ϵ
(
1
−
e
−
p
ϵ
)
{\displaystyle {\frac {1}{\epsilon }}\left(1-\mathrm {e} ^{-p\epsilon }\right)}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
règle de L'Hôpital , par exemple).
L'image de l'impulsion de Dirac d(t) est donc 1.
En dérivant une fonction d'origine :
f
′
(
t
)
U
(
t
)
=
[
f
(
t
)
U
(
t
)
]
′
−
f
(
0
)
U
′
(
t
)
{\displaystyle f'(t)U(t)=[f(t)U(t)]'-f(0)U'(t)}
on trouve la dérivée de la fonction d'origine :
[
f
(
t
)
U
(
t
)
]
′
=
f
′
(
t
)
U
(
t
)
+
f
(
0
)
U
′
(
t
)
{\displaystyle [f(t)U(t)]'=f'(t)U(t)+f(0)U'(t)}
f
′
(
t
)
U
(
t
)
{\displaystyle f'(t)U(t)}
p
ϕ
(
p
)
−
p
f
(
0
)
{\displaystyle p\phi (p)-pf(0)}
On obtient donc :
[
f
(
t
)
U
(
t
)
]
′
{\displaystyle [f(t)U(t)]'}
p
ϕ
(
p
)
{\displaystyle p\phi (p)}
Dériver une fonction d'origine revient donc à multiplier son image par
p
{\displaystyle p}
Représentation de la translation d'une fonction d'une valeur
T
{\displaystyle T}
Soit une fonction
f
(
t
)
U
(
t
)
{\displaystyle f(t)U(t)}
T
{\displaystyle T}
t
{\displaystyle t}
f
(
t
)
U
(
t
)
=
0
{\displaystyle f(t)U(t)=0}
t
<
T
{\displaystyle t<T}
f
(
t
)
U
(
t
)
=
f
(
t
−
T
)
{\displaystyle f(t)U(t)=f(t-T)}
t
>
T
{\displaystyle t>T}
La forme d'origine est
F
(
t
−
T
)
U
(
t
−
T
)
{\displaystyle F(t-T)U(t-T)}
p
∫
T
+
∞
e
−
p
t
f
(
t
−
T
)
d
t
{\displaystyle p\int _{T}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-pt}f(t-T)\,\mathrm {d} t}
En posant
τ
=
t
−
T
{\displaystyle \tau =t-T}
p
∫
0
+
∞
e
−
p
(
T
+
τ
)
f
(
τ
)
d
τ
=
e
−
p
T
p
∫
0
+
∞
e
−
p
τ
f
(
τ
)
d
τ
=
e
−
p
T
ϕ
(
p
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}p\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-p(T+\tau )}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau &=\mathrm {e} ^{-pT}p\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-p\tau }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \\&=\mathrm {e} ^{-pT}\phi (p).\end{aligned}}}
Conclusion :
avec
T
>
0
{\displaystyle T>0}
f
(
t
−
T
)
{\displaystyle f(t-T)}
e
−
p
T
ϕ
(
p
)
{\displaystyle \mathrm {e} ^{-pT}\phi (p)}
t
>
T
{\displaystyle t>T}
f
(
t
−
T
)
=
0
{\displaystyle f(t-T)=0}
t
<
T
{\displaystyle t<T}
Ainsi à l'équation différentielle :
A
d
3
y
d
t
3
+
B
d
2
y
d
t
2
+
C
d
y
d
t
+
D
y
↦
f
(
y
,
y
′
,
y
″
,
y
‴
)
{\displaystyle A{\frac {\mathrm {d} ^{3}y}{\mathrm {d} t^{3}}}+B{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}+C{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+Dy\mapsto f(y,y',y'',y''')}
avec A, B, C, D étant des constantes et les conditions initiales définies en
y
0
″
,
y
0
′
,
y
0
{\displaystyle y''_{0},y'_{0},y_{0}}
correspond une équation algébrique image de
f
(
y
,
y
′
,
y
″
,
y
‴
)
{\displaystyle f(y,y',y'',y''')}
(
A
p
3
+
B
p
2
+
C
p
+
D
)
Y
=
A
p
3
y
0
+
(
A
y
0
′
+
B
y
0
)
p
2
+
(
A
y
0
″
+
B
y
0
′
+
C
y
0
)
p
+
ϕ
(
p
)
.
{\displaystyle (Ap^{3}+Bp^{2}+Cp+D)Y=Ap^{3}y_{0}+(Ay'_{0}+By_{0})p^{2}+(Ay''_{0}+By'_{0}+Cy_{0})p+\phi (p).}
N. Piskounov , Calcul différentiel et intégral , t. 2, Ellipses , 1993 , 12e éd. (1re éd. 1969, Mir ) (lire en ligne ) , chap. XIX.13 (« Théorème de convolution »), p. 464-466
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