Ensemble d'arrivée

En mathématiques, pour une application ou une fonction donnée f : A → B, l'ensemble B est appelé l'ensemble d'arrivée (on dit parfois le but de f ou le codomaine de f).

Diagramme sagittal d'une application d'ensemble de départ A = {1,2,3,4} et d'ensemble d'arrivée B = {a,b,c,d}. Ici, l'image {b,c,d} de cette fonction est différente de son ensemble d'arrivée.

L'ensemble d'arrivée ne doit pas être confondu avec l'image f(A) de f, qui est en général seulement un sous-ensemble de B.

Exemple

Soit la fonction f sur l'ensemble des nombres réels définie par

${\begin{matrix}f&:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\&&x&\mapsto &x^{2}.\end{matrix}}$

L'ensemble d'arrivée de f est $\mathbb {R}$ mais f(x) ne prend jamais de valeurs négatives. L'image est en fait l'intervalle $\left[0,+\infty \right[=\mathbb {R} _{+}$ des réels positifs.

$f\left(\mathbb {R} \right)=\left[0,+\infty \right[$.

Nous aurions pu définir une fonction g ainsi :

${\begin{matrix}g&:&\mathbb {R} &\to &\left[0,+\infty \right[\\&&x&\mapsto &x^{2}.\end{matrix}}$

Tandis que f et g ont le même effet quand elles sont appliquées à un nombre réel donné, les fonctions sont différentes puisqu'elles ont des ensembles d'arrivée différents.

Surjectivité

L'ensemble d'arrivée peut avoir un effet sur la surjectivité d'une fonction ; dans notre exemple, g est surjective alors que f ne l'est pas.

De manière générale, une application f : A → B est surjective si, et seulement si, son image est égale à son ensemble d'arrivée, c'est-à-dire $f(A)=B$.

À noter qu'on peut toujours, à partir d'une application $f:A\rightarrow B$ construire une application surjective en restreignant son ensemble d'arrivée à l'image de $f$ : l'application $g:A\rightarrow f(A)$ définie par $g(x)=f(x)$ pour tout $x$ dans $A$ est surjective.

Voir aussi

Article connexe

Ensemble de définition

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Codomain » (voir la liste des auteurs).