Fonction localement intégrable

En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration au sens de Lebesgue, une fonction à valeurs complexes définie sur un ouvert Ω de ℝⁿ est dite localement intégrable si sa restriction à tout compact de Ω est intégrable pour la mesure de Lebesgue λ_n. L'espace vectoriel de ces fonctions est noté ℒ¹_loc(Ω) et son quotient par le sous-espace des fonctions nulles presque partout est noté L¹_loc(Ω).

Définitions équivalentes

Pour toute fonction f : Ω → ℂ, les propriétés suivantes sont équivalentes :

• f est localement intégrable (au sens ci-dessus) ;
• f est Lebesgue-mesurable et pour tout compact K de Ω,$\int _{K}|f|~{\rm {d}}\lambda _{n}<+\infty$ ;
• pour toute fonction test φ sur Ω (c'est-à-dire toute fonction C^∞ à support compact de Ω dans ℂ), fφ est Lebesgue-intégrable ;
• f est Lebesgue-mesurable et pour toute fonction test φ sur Ω,$\int _{\Omega }|f\varphi |~{\rm {d}}\lambda _{n}<+\infty$.

Exemples

• Toute fonction intégrable est localement intégrable.
• Plus généralement, L¹_loc(Ω) contient L^p(Ω) pour tout p ∈ [1, +∞].
• Toute fonction mesurable localement bornée (en particulier toute fonction continue) est localement intégrable.
• La fonction f définie (presque partout) par f(x) = 1/x — qui appartient donc à L¹_loc(ℝ*) — n'appartient pas à L¹_loc(ℝ).

Propriété

L¹_loc(Ω) est un espace de Fréchet, pour sa structure d'espace localement convexe associée à la famille, indexée par les compacts K de Ω, des semi-normes ║ ║_K définies par :

$\|f\|_{K}=\int _{K}|f|~{\rm {d}}\lambda _{n}$.

Pour cette topologie, l'espace des fonctions complexes continues sur Ω, à supports compacts contenus dans Ω , est dense dans L¹_loc(Ω).

Articles connexes

• Distribution (mathématiques)
• Mesure absolument continue
• Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue