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L'inégalité de Carleman est une inégalité démontrée par Torsten Carleman en 1922[ 1] séries à termes positifs :
∑
n
=
1
+
∞
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
1
/
n
≤
e
∑
n
=
1
+
∞
a
n
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}\leq {\rm {e}}\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}.}
La constante e est la meilleure possible. L'inégalité est stricte sauf pour la suite nulle.
Soit pour tout
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
c
n
=
(
n
+
1
)
n
n
n
−
1
{\displaystyle c_{n}={\frac {(n+1)^{n}}{n^{n-1}}}}
c
1
c
2
⋯
c
n
=
(
n
+
1
)
n
{\displaystyle c_{1}c_{2}\cdots c_{n}=(n+1)^{n}}
(
c
1
c
2
⋯
c
n
)
1
/
n
=
n
+
1
{\displaystyle (c_{1}c_{2}\cdots c_{n})^{1/n}=n+1}
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
inégalité arithmético-géométrique ,
∑
n
=
1
N
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
1
/
n
=
∑
n
=
1
N
1
n
+
1
(
∏
k
=
1
n
a
k
c
k
)
1
/
n
≤
∑
n
=
1
N
1
n
(
n
+
1
)
∑
k
=
1
n
a
k
c
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n+1}}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}c_{k}\right)^{1/n}\\&\leq \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}c_{k}.\end{aligned}}}
Une inversion de somme conduit alors à
∑
n
=
1
N
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
1
/
n
≤
∑
k
=
1
N
(
∑
n
=
k
N
1
n
(
n
+
1
)
)
a
k
c
k
=
∑
k
=
1
N
(
1
k
−
1
N
+
1
)
a
k
c
k
≤
∑
k
=
1
N
a
k
c
k
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}&\leq \sum _{k=1}^{N}\left(\sum _{n=k}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}\right)a_{k}c_{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{N+1}}\right)a_{k}c_{k}\\&\leq \sum _{k=1}^{N}a_{k}{\frac {c_{k}}{k}}.\end{aligned}}}
Or la suite de nombres rationnels
c
k
k
=
(
1
+
1
k
)
k
{\displaystyle \textstyle {\frac {c_{k}}{k}}=(1+{\frac {1}{k}})^{k}}
e
c
k
k
<
e
{\displaystyle {\frac {c_{k}}{k}}<\mathrm {e} }
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
∑
n
=
1
N
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
1
/
n
≤
e
∑
k
=
1
N
a
k
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}\leq \mathrm {e} \sum _{k=1}^{N}a_{k},}
et cette inégalité est stricte lorsque N est assez grand, à moins que la
suite
(
a
k
)
k
≥
1
{\displaystyle (a_{k})_{k\geq 1}}
N vers l'infini.
Si l'on considère
a
n
:=
{
1
n
,
si
n
≤
N
,
0
,
si
n
>
N
,
{\displaystyle a_{n}:={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&{\text{si }}n\leq N,\\[.4em]0,&{\text{si }}n>N,\end{cases}}}
alors le membre de droite de l'inégalité de Carleman est égal à
e
H
N
{\displaystyle \mathrm {e} H_{N}}
HN N -ième nombre harmonique, tandis que le membre de gauche admet, puisque
(
n
!
)
1
n
∼
n
e
{\displaystyle {(n!)}^{\frac {1}{n}}\sim {\frac {n}{e}}}
formule de Stirling , l'équivalent
∑
n
=
1
N
(
n
!
)
−
1
n
∼
e
∑
n
=
1
N
1
n
=
e
H
N
{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{(n!)}^{-{\frac {1}{n}}}\sim \mathrm {e} \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\mathrm {e} H_{N}}
lorsque
N
→
∞
{\displaystyle N\to \infty }
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
↑ T. Carleman , « Sur les fonctions quasi-analytiques », Conférences faites au cinquième congrès des mathématiciens scandinaves tenu à Helsingfors du 4 au 7 juillet 1922 , p. 181-196 . 
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