Inégalité de Cauchy

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L'inégalité de Cauchy, établie par Augustin Louis Cauchy, est une relation permettant d'estimer les dérivées d'une fonction holomorphe. Elle découle immédiatement de la formule intégrale de Cauchy.

Énoncé

Soit $f$ une fonction holomorphe dans un disque de centre $ω 0$ et de rayon $R$ et soit $r$ un réel de $]0, R [$ . On note :

M\left(r\right)=\sup\{|f\left(\omega \right)|\mid |\omega -\omega _{0}|=r\}

.

Alors, pour tout entier naturel $n$ ,

\left|{\frac {f^{(n)}\left(\omega _{0}\right)}{n!}}\right|\leq {\frac {M\left(r\right)}{r^{n}}}

.

Voir le § Principale conséquence de l'article sur la formule intégrale de Cauchy.

On peut déduire le théorème de Liouville de cette inégalité.

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