Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions L^p, comme les espaces de suites ℓ^p. C'est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes.

Énoncé

Soient

• $S$ un espace mesuré,
• $p,q>0$ (la valeur $+\infty$ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison »${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,$
• $f\in L^{p}(S)$ et $g\in L^{q}(S)$.

Alors, le produit $fg$ appartient à $L^{1}(S)$ et sa norme est majorée naturellement :

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Plus généralement, pour $0<p,q\leq +\infty$ et $r$ défini par

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}$,

si $f\in L^{p}(S)$ et $g\in L^{q}(S)$ alors $fg\in L^{r}$ et $\lVert fg\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}$.

De plus, lorsque $p$ et $q$ sont finis, il y a égalité si et seulement si $|f|^{p}$ et $|g|^{q}$ sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe $\alpha$ et $\beta$ non simultanément nuls tels que $\alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}$ p.p.

Démonstration

Pour démontrer ce théorème, on peut utiliser un corollaire de l'inégalité de Jensen ou l'inégalité de Young.

Exemples

Inégalité de Cauchy-Schwarz

L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert est le cas particulier où p=q=2 dans l'inégalité de Hölder.

Dimension finie

Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1 et pour tous vecteurs x et y de ℝⁿ (ou de ℂⁿ), l'inégalité

$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}\ y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}.$

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme ℓ^p : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites

L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = ℕ) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si (x_k) et (y_k) sont respectivement dans les espaces de suites ℓ^p et ℓ^q, alors la suite « produit terme à terme » (x_k y_k) est dans ℓ¹.

Cas extrémal

Soient 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1, S un espace mesuré, de tribu Σ et de mesure μ, et f ∈ L^p(S).

• Si p < +∞, alors$\|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int fg~\mathrm {d} \mu \right|~;~g\in \mathrm {L} ^{q}(S),~\|g\|_{q}\leq 1\right\},$
• Si p = +∞ et si tout élément A de la tribu Σ tel que μ(A) = +∞ contient un élément B de Σ tel que 0 < μ(B) < +∞ (ce qui est vrai dès que μ est σ-finie), alors$\|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int fg~\mathrm {d} \mu \right|~;~g\in \mathrm {L} ^{1}(S),~\|g\|_{1}\leq 1\right\}.$

Démonstration

D'après l'inégalité de Hölder, dans les deux cas, la borne supérieure de l'ensemble de droite est majorée par ║f║_p.

Inversement, minorons cette borne supérieure par la norme p de f, que l'on peut supposer non nulle. Par homogénéité, supposons même que$\|f\|_{p}=1.$

• Si p < +∞, la borne est même un maximum c'est-à-dire qu'elle est atteinte : la fonction g définie sur S par$g(x)={\begin{cases}|f(x)|^{p}/f(x)&{\text{si }}f(x)\neq 0,\\0&{\text{sinon,}}\end{cases}}$appartient à L^q où sa norme vaut 1 et l'on a$\int fg~\mathrm {d} \mu =1=\|f\|_{p}.$
• Si p = +∞, soient ε ∈]0, 1[et A = [| f| > 1 – ε] ∈ Σ, de mesure non nulle puisque ║f║_∞ = 1. L'hypothèse additionnelle garantit l'existence d'un B ∈ Σ, contenu dans A et de mesure finie non nulle. La fonction g définie sur S par$g(x)={\begin{cases}{\frac {|f(x)|}{\mu (B)f(x)}}&{\text{si }}x\in B,\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}$appartient alors à L¹ où sa norme vaut 1 et l'on a$\int fg~\mathrm {d} \mu =\int _{B}{\frac {|f|}{\mu (B)}}~\mathrm {d} \mu \geq 1-\varepsilon .$La borne supérieure que l'on cherchait à minorer est donc supérieure ou égale à 1 – ε pour tout ε ∈]0, 1[, ce qui prouve qu'elle est bien supérieure ou égale à ║f║_∞.

Remarques sur le cas p = +∞

• Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte en général. Par exemple si x est la suite de ℓ^∞ définie par x_k = 1 – 2^–k alors, pour toute suite non nulle y de norme inférieure ou égale à 1 dans ℓ¹, $\left|\sum x_{k}y_{k}\right|\leq \sum (1-2^{-k})|y_{k}|<\sum |y_{k}|\leq 1=\|x\|_{\infty }.$
• Si A ∈ Σ est de mesure infinie mais ne contient aucun B ∈ Σ de mesure finie non nulle (l'exemple le plus simple étant celui où le seul B ∈ Σ qui soit strictement inclus dans A est ∅) et si f est la fonction indicatrice de A, alors la borne supérieure associée est nulle, tandis que ║f║_∞ = 1.

Applications

• L’inégalité de Hölder fournit immédiatement une relation importante entre les espaces L^p associés à une mesure finie de masse totale M :$0<r\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{r}\supset \mathrm {L} ^{q}{\text{ et }}\forall g\in \mathrm {L} ^{q},\|g\|_{r}\leq M^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{q}}}\|g\|_{q}.$(Cette propriété peut également se déduire directement de l'inégalité de Jensen.)
• Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski, qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de L^p si p ≥ 1.
• Le cas extrémal permet d’établir que le dual topologique de L^p est L^q (avec 1/p + 1/q = 1) si 1 < p < +∞, et aussi si p = 1 quand la mesure est σ-finie.

Généralisation

L’inégalité de Hölder avec 1/p + 1/q = 1/r se généralise immédiatement à n fonctions, par récurrence :

Soient 0 < r, p₁, …, p_n ≤ +∞ tels que

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}$

et n fonctions f_k ∈ L^p_k(S). Alors, le produit des f_k appartient à L^r(S) et

$\left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\|f_{k}\|_{p_{k}}.$

De plus, lorsque tous les p_k sont finis, il y a égalité si et seulement si les |f_k|^p_k sont colinéaires p.p.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hölder's inequality » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]