Intégrale de Stieltjes

Thomas Stieltjes (1856-1894).

L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées f et g définies sur un intervalle fermé [a, b], ainsi qu'une subdivision a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b de cet intervalle. Si la somme de Riemann

$\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i}){\bigl (}g(x_{i})-g(x_{i-1}){\bigr )},$

avec ξ_i ∈ [x_i–1, x_i], tend vers une limite S lorsque le pas max(x_i – x_{i – 1}) tend vers 0, alors S est appelée l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes) de la fonction f par rapport à g. On la note

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)$

ou simplement ∫^b
_a f dg.

Propriétés

Si les fonctions f et g possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas.

Cependant, si f est continue et g à variation bornée, cette intégrale est bien définie. Elle l'est également si f est seulement Riemann-intégrable mais g est absolument continue, et elle coïncide alors avec l'intégrale de fg' au sens de Lebesgue (ou de Riemann si de plus g' est Riemann-intégrable) :

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g\,\!(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.$

De plus, dans ces conditions suffisantes d'existence, f et g sont interchangeables. En effet :

Théorème d'intégration par parties — Si l'une des deux intégrales de Stieltjes $\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} g$ ou $\int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} f$ existe alors l'autre aussi, et leur somme est égale à $\left[fg\right]_{a}^{b}:=f(b)g(b)-f(a)g(a).$

Démonstration

Supposons par exemple que la seconde existe. En ajoutant à la « subdivision marquée » ci-dessus les points $\xi _{n+1}=b$ et $\xi _{0}=a$, on trouve : $\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i}){\bigl (}g(x_{i})-g(x_{i-1}){\bigr )}=f(b)g(b)-f(a)g(a)+\sum _{i=0}^{n}{\bigl (}f(\xi _{i})-f(\xi _{i+1}){\bigr )}g(x_{i}).$ On conclut en utilisant que max(ξ_j – ξ_{j – 1}) ≤ 2 max(x_i – x_{i – 1}).

Formules de la moyenne — Si f est continue sur [a, b] et si g est monotone, il existe un réel c de [a, b] tel que

• Première formule :

$\int _{a}^{b}f~\mathrm {d} g=f(c){\bigl (}g(b)-g(a){\bigr )}.$

• Deuxième formule :

$\int _{a}^{b}g~\mathrm {d} f=g(a)\int _{a}^{c}\mathrm {d} f+g(b)\int _{c}^{b}\mathrm {d} f.$

La première formule se démontre comme dans le cas où g est continûment dérivable. La deuxième s'en déduit grâce au théorème d'intégration par parties. Un corollaire de cette deuxième formule est : si h est intégrable sur [a, b] et si g est monotone, il existe un c ∈ [a, b] tel que

$\int _{a}^{b}g(x)h(x)~\mathrm {d} x=g(a)\int _{a}^{c}h(x)~\mathrm {d} x+g(b)\int _{c}^{b}h(x)\mathrm {d} x.$

Si g est non seulement monotone mais décroissante positive, on peut la rendre nulle en b avant de lui appliquer ce corollaire (cela ne change pas la valeur de ∫^b
_a g(x)h(x) dx).

Voir aussi

Articles connexes

• Intégrale de Lebesgue
• Intégration de Lebesgue-Stieltjes
• Intégrale de Kurzweil-Henstock
• Intégrale d'Itō
• Formule sommatoire d'Abel

Bibliographie

• (en) H. Jeffreys et B. S. Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, CUP, 1988, 3^e éd., 718 p. (ISBN 978-0-521-66402-8, lire en ligne), chap. 1, §10 (« Integration: Riemann, Stieltjes »), p. 26-36
• (en) H. Kestelman, Modern Theories of Integration, New York, Dover Publications, 1960, chap. 11 (« Riemann-Stieltjes Integration »), p. 247-269