Méthode du point médian

En analyse numérique, la méthode du point médian est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.$

Le principe est d'approcher l'intégrale de la fonction $f$ par l'aire d'un rectangle de base de segment $[a,b]$ et de hauteur $f\left({\frac {a+b}{2}}\right)$, ce qui donne :

$R=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).$

Cette aire est aussi celle du trapèze de base $[a,b]$ et dont le côté opposé est tangent au graphe de $f$ en $c={\frac {a+b}{2}}$, ce qui explique sa relative bonne précision.

Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment $[a,b]$, l'erreur commise est de la forme

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )$

pour un certain $\xi \in [a,b]$.

Démonstration

Soit $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle $[a,b]$, on peut appliquer le théorème de Taylor-Lagrange à la fonction $F$ à l'ordre 2 entre les points $t\in [a,b]$ et $c={\frac {a+b}{2}}$. Pour tout $t\in [a,b]$ il existe $\xi \in [a,b]$ tel que

$F(t)=F(c)+F'(c)(t-c)+{\frac {1}{2}}F''(c)(t-c)^{2}+{\frac {1}{6}}F'''(\xi )(t-c)^{3}$

en particulier en prenant $t=a$ puis $t=b$, il existe $\xi _{1},\xi _{2}\in [a,b]$ tel que

$F(b)=F(c)+F'(c)(b-c)+{\frac {1}{2}}F''(c)(b-c)^{2}+{\frac {1}{6}}F'''(\xi _{1})(b-c)^{3}=F(c)+f(c){\frac {b-a}{2}}+{\frac {1}{2}}f'(c)\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{6}}f''(\xi _{1})\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{3}$

et

$F(a)=F(c)+F'(c)(a-c)+{\frac {1}{2}}F''(c)(a-c)^{2}+{\frac {1}{6}}F'''(\xi _{2})(a-c)^{3}=F(c)+f(c){\frac {a-b}{2}}+{\frac {1}{2}}f'(c)\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{6}}f''(\xi _{2})\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{3}$

En soustrayant les deux égalités on obtient :

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)=f(c)(b-a)+{\frac {(b-a)^{3}}{24}}\left({\frac {f''(\xi _{1})+f''(\xi _{2})}{2}}\right)$

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors l’existence d'un réel $\xi \in [a,b]$ telle que ${\frac {f''(\xi _{1})+f''(\xi _{2})}{2}}=f''(\xi )$.

Sur une subdivision de l'intervalle

En découpant l'intervalle $[a,b]$ en $n$ segments $[a_{k},a_{k+1}]$ de même longueur $h={\frac {b-a}{n}}$ et en appliquant la formule précédente sur chacun des petits segments $[a_{k},a_{k+1}]$ où $a_{k}=a+kh$ pour $k\in \{0,1,2,...,n-1\}$ on obtient

$\left|\int _{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\,\mathrm {d} x-hf\left(a_{k}+{\frac {h}{2}}\right)\right|\leq {\frac {(a_{k+1}-a_{k})^{3}}{24}}M_{2}$ avec $M_{2}={\text{sup}}_{[a,b]}|f''|$

En sommant sur $k$ on obtient

${\begin{aligned}\left|\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-h\sum _{k=0}^{n-1}f\left(a_{k}+{\frac {h}{2}}\right)\right|&=\left|\sum _{k=0}^{n-1}\left(\int _{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\,\mathrm {d} x-hf(a_{k}+{\frac {h}{2}})\right)\right|\\&\leq \sum _{k=0}^{n-1}\left|\int _{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\,\mathrm {d} x-hf(a_{k}+{\frac {h}{2}})\right|\\&\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(a_{k+1}-a_{k})^{3}}{24}}M_{2}\\&\leq {\frac {h^{3}}{24}}M_{2}\sum _{k=0}^{n-1}1={\frac {M_{2}}{24}}\left({\frac {b-a}{n}}\right)^{3}n={\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}}\end{aligned}}$

Remarques

L'erreur est deux fois plus petite que celle donnée par la méthode des trapèzes.

Cette méthode est un cas des formules de Newton-Cotes, où le polynôme d'interpolation est de degré $0$. Elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à $1$.