Opérateur bilaplacien

L'opérateur bilaplacien, ou opérateur biharmonique est, comme son nom le suggère, le nom donné à l'opérateur laplacien appliqué deux fois.

Expression

Dans un système de coordonnées cartésiennes $x_{1},x_{2},...x_{n}$, le bilaplacien s'écrit

$\Delta ^{2}=\nabla ^{4}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{4}}{\partial x_{i}^{2}\partial x_{j}^{2}}}$.

D'autre part, dans un espace euclidien de dimension $n$, la relation suivante est toujours vérifiée :

$\Delta ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)={\frac {3(15-8n+n^{2})}{r^{5}}}$

avec $r$ la distance euclidienne :

$r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}=\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$.

Voir aussi

• Opérateur laplacien
• Équation biharmonique
• Fonction harmonique

Référence

• (en) Le bilaplacien sur le site MathWorld