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Suggérer des pagesParallélogramme
Pour les articles homonymes, voir Parallélogramme (homonymie).
En géométrie, un parallélogramme est un quadrilatère (polygone à quatre côtés) dont les diagonales se coupent en leur milieu[1]. Leur point d'intersection est le centre de symétrie du parallélogramme. Ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Définitions équivalentes
[modifier | modifier le code]En géométrie purement affine, un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement s'il satisfait l'une des propriétés équivalentes suivantes :
- les segments et ont même milieu
- les vecteurs et sont égaux ;
- les vecteurs et sont égaux.
![{\displaystyle [{\rm {{AC}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b82baa9ef1b805787f06dc7cac300fe09e266c6)
![{\displaystyle [{\rm {{BD}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8de3596f3bbc88fc18194d10c66350348ecf33)
Si de plus les quatre sommets sont trois à trois non alignés, ces propriétés sont aussi équivalentes à la suivante : les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est-à-dire : (AB) // (CD) et (AD) // (BC)[2].
En géométrie euclidienne, sous cette même hypothèse, ces propriétés sont aussi équivalentes à :
- le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
- il est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux ;
- ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux ;
- c'est un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur.
Propriétés
[modifier | modifier le code]- Tout parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
- Dans tout parallélogramme ABCD, on a l'identité du parallélogramme : .
- Les angles d'un parallélogramme qui se suivent sont supplémentaires.
- Les angles opposés sont égaux.
Cas particuliers
[modifier | modifier le code]- Un losange est un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur[1]. Il est même équilatéral.
- Un rectangle est un parallélogramme ayant au moins un angle droit. Il est même équiangle.
- Un carré est un losange rectangle.
Aire
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Soient la longueur d'un côté du parallélogramme et la longueur de la hauteur associée (distance entre les deux côtés de longueur ). L'aire du parallélogramme vaut :
En fonction des longueurs des côtés et de la mesure du petit angle, l'aire est donnée par :
Avec les notations ci-dessus, l'aire est aussi donnée par le déterminant :
En fonction des longueurs des côtés et des longueurs des diagonales, l'aire est donnée par :
- ,
ce qui redonne les formules d'aire dans le cas du rectangle () et dans le cas du losange ().
Antiparallélogramme
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Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.
Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure en valeur absolue.
Équipollence et vecteurs
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Il est désormais classique de définir la notion de parallélogramme à partir de celle de vecteur (voir supra) mais on peut inversement, à partir de la notion de milieu, définir (comme en introduction) celle de parallélogramme, puis celle d'équipollence de deux bipoints, et enfin celle de vecteur :
- on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
- deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme (la relation d'équipollence est une relation d'équivalence) ;
- on appelle vecteur la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).
On retrouve alors qu'un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si .
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Notes et références
[modifier | modifier le code]- M. Troyanov, Cours de géométrie, PPUR, 2002, p. 13.
- Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Hermann, , exercice 1, p. 50.
