Série de Bertrand

Pour $α$ et $β$ deux réels, on appelle série de Bertrand (du nom de Joseph Bertrand) la série à termes réels positifs suivante :

\sum _{n\geq 2}{1 \over n^{\alpha }\,(\ln n)^{\beta }}.

Condition de convergence

Énoncé

Théorème de Bertrand — La série de Bertrand associée à $α$ et $β$ converge si et seulement si $α > 1$ ou ( $α = 1$ et $β > 1$ ).

Cette condition nécessaire et suffisante se résume en $(α, β) > (1, 1)$ , où l'ordre sur les couples de réels est l'ordre lexicographique (celui adopté pour trier les mots dans un dictionnaire : on tient compte de la première lettre, puis de la deuxième, etc.).

Démonstration par le critère intégral de Cauchy

La série de Bertrand a le même comportement que l'intégrale en $+\infty$ de la fonction

f:x\mapsto {\frac {1}{x^{\alpha }\ln ^{\beta }x}}

(définie et strictement positive sur $]1,+\infty[$ ), car $f$ est monotone au-delà d'une certaine valeur. On a donc la même conclusion que pour l'intégrale de Bertrand associée :

si $α > 1$ , la série converge ;
si $α < 1$ , elle diverge ;
si $α = 1$ , elle converge si et seulement si $β > 1$ .

On peut de plus remarquer que si $α < 0$ ou si $α = 0$ et $β \leq 0$ , alors $f$ est croissante au-delà d'une certaine valeur donc la divergence est grossière.

Démonstration par comparaison avec d'autres séries

Les cas $α \neq 1$ se traitent facilement par comparaison avec des séries de Riemann (et croissances comparées).

Si $α = β = 1$ , la série diverge car son terme général est équivalent à celui, $\ln \ln(n+1)-\ln \ln n$ , d'une série télescopique divergente. Par comparaison avec ce cas limite, on en déduit que la série diverge si $α = 1$ et $β \leq 1$ (et a fortiori si $α < 1$ ).

Si $α = 1$ et $β \neq 1$ , on peut procéder de même en remarquant que pour tout $γ \neq 0$ , ${\frac {\gamma }{n\ln ^{1+\gamma }n}}\sim {\frac {1}{\ln ^{\gamma }n}}-{\frac {1}{\ln ^{\gamma }(n+1)}}$ , ou utiliser le test de condensation de Cauchy. (On retrouve ensuite, par comparaison, les cas $α \neq 1$ .)

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

Condition de convergence des séries de Bertrand (exercices corrigés), sur Wikiversity

J. Bertrand, « Règles sur la convergence des séries », JMPA, vol. 7,‎ 1842, p. 35-54 (lire en ligne)
Émile Borel, Leçons sur les séries à termes positifs, Gauthier-Villars, 1902 (lire en ligne), p. 5-6

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