Système dynamique de Lorenz

Présentation de la problématique

Bien que le caractère vraisemblablement chaotique de la météorologie fut pressenti par Henri Poincaré^[1]^,^[2], le météorologue Edward Lorenz est considéré comme étant le premier à le mettre en évidence, en 1963.

Modèle de Lorenz

Mathématiquement, le couplage de l'atmosphère avec l'océan est décrit par le système d'équations aux dérivées partielles couplées de Navier-Stokes de la mécanique des fluides. Ce système d'équations était beaucoup trop compliqué à résoudre numériquement pour les premiers ordinateurs existant au temps de Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplifié de ces équations pour étudier une situation physique particulière : le phénomène de convection de Rayleigh-Bénard. Il aboutit alors à un système dynamique différentiel possédant seulement trois degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer numériquement que les équations de départ.

Système dynamique différentiel de Lorenz

Ce système différentiel s'écrit : $\left\{{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma \,[y(t)-x(t)]\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho \,x(t)-y(t)-x(t)\,z(t)\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=x(t)\,y(t)-\beta \,z(t)\end{aligned}}\right.$

Dans ces équations, $σ$ (nombre de Prandtl), $ρ$ (rapport du nombre de Rayleigh au nombre de Rayleigh critique) et $β$ sont trois paramètres réels positifs.

$x(t)$ est proportionnel à l'intensité du mouvement de convection, $y(t)$ est proportionnel à la différence de température entre les courants ascendants et descendants, et $z(t)$ est proportionnel à l'écart du profil de température vertical par rapport à un profil linéaire (Lorenz 1963 p. 135).

Points fixes

Les points fixes du système sont les solutions constantes $(x,y,z)$ du système différentiel. Il en existe un quand $\rho \leq 1$ et trois quand $\rho >1$ :

le point fixe (0,0,0), qui existe quelles que soient les valeurs des paramètres $σ$ , $ρ$ et $β$ ;
deux points fixes symétriques par rapport à l'axe $\mathrm {O} z$ : $\left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)$ et : $\left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)$ , qui n'existent que lorsque $\rho >1$ .

Attracteur étrange

Article détaillé : attracteur de Lorenz.

Lorsque les paramètres $σ$ , $ρ$ et $β$ prennent les valeurs $\sigma =10$ , $\rho =28$ et $\beta ={\tfrac {8}{3}}$ , le système dynamique différentiel de Lorenz présente un « attracteur étrange » en forme d'ailes de papillon, représenté sur la figure ci-contre.

Pour presque toutes les conditions initiales (différentes de celles des points fixes), l'orbite du système se promène sur l'attracteur, la trajectoire commençant par s'enrouler sur une aile, puis sautant d'une aile à l'autre pour commencer à s'enrouler sur l'autre aile, et ainsi de suite, de façon apparemment erratique.

Articles connexes

Bibliographie

(en) Edward N. Lorenz, Deterministic non-periodic flow, Journal of the Atmospheric Sciences 20(2) (1963), 130–141. Format pdf.
(en) W. Tucker, « A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem », Found. Comp. Math., vol. 2,‎ 2002, p. 53–117 (lire en ligne).

Notes et références

↑ « Notre second exemple sera fort analogue au premier et nous l’emprunterons à la météorologie. Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu’ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l’atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet équilibre est instable, qu’un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d’état de le dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu’il aurait épargnées. Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d’avance, mais les observations n’étaient ni assez serrées, ni assez précises, et c’est pour cela que tout semble dû à l’intervention du hasard. Ici encore nous retrouvons le même contraste entre une cause minime, inappréciable pour l’observateur, et des effets considérables, qui sont quelquefois d’épouvantables désastres. » Henri Poincaré, Science et Méthode, Flammarion, 1908.
↑ [PDF] « Science et Méthode, p.37. », sur l’Académie de Nancy-Metz (consulté le 27 juin 2013)

[1] « Notre second exemple sera fort analogue au premier et nous l’emprunterons à la météorologie. Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu’ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l’atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet équilibre est instable, qu’un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d’état de le dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu’il aurait épargnées. Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d’avance, mais les observations n’étaient ni assez serrées, ni assez précises, et c’est pour cela que tout semble dû à l’intervention du hasard. Ici encore nous retrouvons le même contraste entre une cause minime, inappréciable pour l’observateur, et des effets considérables, qui sont quelquefois d’épouvantables désastres. » Henri Poincaré, Science et Méthode, Flammarion, 1908.

[2] [PDF] « Science et Méthode, p.37. », sur l’Académie de Nancy-Metz (consulté le 27 juin 2013)

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