Théorème de Müntz

Le théorème de Müntz-Szász est un résultat fondamental de la théorie de l'approximation, conjecturé en 1912 par Sergueï Bernstein et démontré en 1914 par Herman Müntz. En 1916, Otto Szász l'a étendu à des exposants complexes et en a fourni une preuve plus simple.

Pour I un segment quelconque de ℝ, le théorème de Weierstrass assure que toute fonction continue de I dans ℂ est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Le théorème de Müntz-Szász est une généralisation du théorème de Weierstrass, dans le cas où le segment I est positif, avec un ensemble d'« exposants de monômes » différent de celui des entiers naturels, mais satisfaisant une condition analogue à celle de la divergence de la série harmonique.

Énoncé

Soient :

• $(\lambda _{n})_{n}$une suite strictement croissante de réels strictement positifs ;
• I = [a, b] avec 0 ≤ a < b ;
• C(I) l'espace vectoriel normé des fonctions continues de I dans $\mathbb {C}$ (muni de la norme de la convergence uniforme) ;
• F le sous-ensemble des fonctions x ↦ x^λ_n, auxquelles on adjoint, si a = 0, la fonction constante 1.

Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :

• F est total dans C(I), (c'est-à-dire que le sous-espace vectoriel qu'il engendre est dense).

• La suite $(\lambda _{n})_{n}$ satisfait : $\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {1}{\lambda _{n}}}=+\infty$

Démonstration du sens indirect

Nous allons démontrer que l'hypothèse $\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {1}{\lambda _{n}}}=+\infty$ est suffisante pour que $F$ soit total dans $C(I)$. La preuve suivante (pour I = [0, 1]) nécessite l'hypothèse supplémentaire λ_n → +∞ mais « a deux avantages distincts par rapport à la majorité des preuves connues du même résultat : elle est à la fois constructive et courte. »

Les hypothèses sont donc : $0<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots ,\quad \lambda _{n}\to +\infty \quad {\rm {et}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}=+\infty$ et il suffit (d'après le théorème de Weierstrass) de montrer que pour tout entier m > 0, il existe une suite de fonctions P_n(x), combinaisons linéaires (à coefficients complexes) des x^λ_k, telle que la différence Q_n(x) := x^m – P_n(x) converge uniformément vers 0 sur [0, 1]. On définit par récurrence une telle suite en posant : $Q_{0}(x)=x^{m},\quad Q_{n}(x)=(\lambda _{n}-m)x^{\lambda _{n}}\int _{x}^{1}Q_{n-1}(t)t^{-(1+\lambda _{n})}{\rm {d}}t.$ On vérifie facilement (par récurrence) que :

1. chaque Q_n est la différence de x^m et d'une combinaison linéaire des x^λ_k pour k ≤ n ;
2. en notant ║ ║ la norme de la convergence uniforme sur [0, 1],$\|Q_{n}\|\leq \prod _{k=1}^{n}\left|1-{\frac {m}{\lambda _{k}}}\right|,$ou encore, en appliquant le logarithme :$\ln \|Q_{n}\|\leq \sum _{k=1}^{n}\ln \left|1-{\frac {m}{\lambda _{k}}}\right|.$

Détails des calculs

$(\lambda _{n}-m)x^{\lambda _{n}}\int _{x}^{1}t^{\lambda }t^{-(1+\lambda _{n})}{\rm {d}}t={\begin{cases}x^{m}-x^{\lambda _{n}}&{\text{si }}\lambda =m,\\{\frac {\lambda _{n}-m}{\lambda _{n}-\lambda }}(x^{\lambda }-x^{\lambda _{n}})&{\text{si }}\lambda \neq \lambda _{n}.\end{cases}}$Le premier point se déduit de ces deux cas (compatibles) en appliquant le second à λ = λ_k pour tout k < n. En appliquant ce même second cas à λ = 0, on trouve $\forall x\in [0,1]\quad |Q_{n}(x)|\leq \|Q_{n-1}\|\left|1-{\frac {m}{\lambda _{n}}}\right|(1-x^{\lambda _{n}})\leq \|Q_{n-1}\|\left|1-{\frac {m}{\lambda _{n}}}\right|.$

Puisque λ_n → +∞, on a l'équivalent $\ln \left|1-{\frac {m}{\lambda _{k}}}\right|\sim -{\frac {m}{\lambda _{k}}}.$ Par comparaison des séries, on en déduit que ln║Q_n║ → –∞, c'est-à-dire ║Q_n║ → 0.