Transformée de Stieltjes

En mathématiques, la transformée de Stieltjes d'une mesure à densité ρ sur un intervalle I est une fonction de la variable complexe z, définie à l'extérieur de cet intervalle par la formule :

$S_{\rho }\left(z\right)=\int _{I}{\frac {\rho \left(t\right)}{z-t}}\,\mathrm {d} t.$

Sous certaines conditions on peut reconstituer la densité d'origine à partir de sa transformée grâce à la formule d'inversion de Stieltjes-Perron. Par exemple, si la densité ρ est continue sur I, on aura à l'intérieur de cet intervalle :

$\rho \left(x\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\,{\frac {S_{\rho }\left(x-{\rm {i}}\varepsilon \right)-S_{\rho }\left(x+{\rm {i}}\varepsilon \right)}{2{\rm {i}}\pi }}.$

Relations avec les moments de la mesure

Si la mesure de densité ρ a des moments de tout ordre définis pour chaque entier naturel n par l'égalité :

$c_{n}=\int _{I}t^{n}\rho \left(t\right)\,\mathrm {d} t,$

alors la transformée de Stieltjes de ρ admet pour tout entier le développement asymptotique au voisinage de l'infini :

$S_{\rho }\left(z\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {c_{k}}{z^{k+1}}}+o\left({\frac {1}{z^{n+1}}}\right).$

Sous certaines conditions on obtient le développement en série de Laurent :

$S_{\rho }\left(z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{z^{n+1}}}.$

Relations avec les polynômes orthogonaux

La correspondance $(f,g)\mapsto \int _{I}f(t)g(t)\mathrm {d} t$ définit un produit scalaire sur l'espace des fonctions à valeurs réelles continues sur I.

On note (P_n) la suite de polynômes, orthonormale pour ce produit scalaire, avec P_n de degré n pour tout entier, qui vérifie une relation de récurrence à trois termes successifs : $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ P_{n+1}(x)=(a_{n}x+b_{n})P_{n}(x)+c_{n}P_{n-1}(x).$ on peut en déduire facilement un développement en fraction continue généralisée de la transformée de Stieltjes en question dont les réduites successives sont les fractions F_n(z): $S_{\rho }(z)={\frac {a_{0}}{a_{0}z+b_{0}+{\dfrac {c_{1}}{a_{1}z+b_{1}+{\dfrac {c_{2}}{a_{2}z+b_{2}+{\frac {c_{3}}{\ldots }}}}}}}}$

On associe à la suite des polynômes secondaires définis par la relation :

$Q_{n}(x)=\int _{I}{\frac {P_{n}(t)-P_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,\mathrm {d} t.$

On montre alors que la fraction rationnelle $F_{n}(z)={\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}$ est un approximant de Padé de S_ρ(z) au voisinage de l'infini, au sens où

$S_{\rho }(z)-{\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}=O\left({\frac {1}{z^{2n}}}\right).$

La transformée de Stieltjes se révèle également un outil précieux pour construire à partir de ρ une mesure effective rendant les polynômes secondaires orthogonaux.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Stieltjes transformation » (voir la liste des auteurs).
• (en) Hubert Stanley Wall (en), Analytic Theory of Continued Fractions, Van Nostrand, 1948
• (en) D. V. Widder, « The Stieltjes transform », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 43,‎ 1938, p. 7-60 (lire en ligne)
• (en) Irene Gargantini et Peter Henrici, « A continued fraction algorithm for the computation of higher transcendental functions in the complex plane », Math. Comp., vol. 21,‎ 1967, p. 18-29 (lire en ligne)